向量 Vector

向量是用来表示方向的量, 包含长度和方向, 向量不关心座标起始位置.

座标上 $A$ 点 指向 $B$ 点 的向量表示为 $\vec{AB}$ 通常简写为 $\vec{a}$ .

$$\vec{a} = \vec{AB} = B - A$$

可以看出该向量表示是 $B$ 的座标减去 $A$ 的座标.

向量 $\vec{a}$ 的长度用 $||\vec{a}||$ 来表示.

单位向量指长度为1的向量, 用$\hat{a}$ 来表示.

$$\hat{a} = \frac{\vec{a}}{||\vec{a}||}$$

向量加法

• 几何, 可以用三角形法则或者平行四边形来表示.
• 代数, 各个值对应相加即可

$$ \vec{a} = (x_a, y_a) \\ \vec{b} = (x_b, y_b) \\ \vec{a} + \vec{b} = (x_a + x_b , y_a ++ y_b) $$

点乘 Dot Product

几何意义

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = ||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}|| \cdot \cos\theta$$

$$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}||}$$

当 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 同为单位向量的时候 $\cos\theta = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

• 将向量转换为单位向量来计算向量的夹角 $\cos\theta =\hat{a} \cdot \hat{b}$ .
• 判定两个向量的方向是否一致, $\cos\theta$ 为正则一致.
• 获取 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影
• 分解向量为一对垂直的向量

投影

$$ \vec{b_\bot} = k \cdot \hat{a} \\ k = ||\vec{b_\bot}|| = \vec{b} \cdot \cos\theta $$

叉乘 Cross Product

$$\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$$

向量 $\vec{c}$ 是同时垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ .

不 满足 交换律:

$$\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}$$

右手座标系

• 左边为正的情况下是右手系

常用于:

• 计算垂直向量
• 计算 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 的左边右边, 根据叉乘的正负判定
• 计算 点P 是否在由点(A,B,C ...) 组成形状的内部, 实际判定依次组成的向量点乘的正负一致性,来判定P和其他点组成的向量在同一边